穿越11年的數(shù)學(xué)長跑：尋找那顆最完美的“鵝卵石”

　　中科大兩位教授證明國際數(shù)學(xué)界20多年懸而未決的核心猜想前后

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王兵教授解釋“哈密爾頓—田”猜想的大致原理。記者陳諾攝

　　“著名學(xué)者弗里曼·戴森說，有些數(shù)學(xué)家是鳥，有些是青蛙。飛鳥可以俯瞰延伸至遙遠(yuǎn)地平線的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)景，青蛙則樂于深入探討特定問題的細(xì)節(jié)。至于我們，就像是池塘邊碰巧發(fā)現(xiàn)美麗花朵的青蛙。”

　　近期，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)教授陳秀雄、王兵取得重大突破，證明了“哈密爾頓—田”和“偏零階估計”這兩個國際數(shù)學(xué)界20多年懸而未決的核心猜想。面對如潮贊譽(yù)，他們這樣說。

　　能完全看懂的“不到10人”

　　陳秀雄、王兵的論文，發(fā)表于國際頂級數(shù)學(xué)期刊《微分幾何學(xué)雜志》。

　　學(xué)術(shù)界有人說，這篇長達(dá)123頁的論文，全世界能完全看懂的估計“不到10人”。“確認(rèn)過眼神，我是看不懂的人。”網(wǎng)友的態(tài)度真實(shí)而可愛。有科普作家說，“這是最難進(jìn)行的一次科普。”

　　那么，他們到底證明了什么？

　　“我們在沙灘上看到的鵝卵石大多是圓潤的，它一開始可能有棱有角，但隨著時空流轉(zhuǎn)、潮起潮落，形狀會越來越接近完美、標(biāo)準(zhǔn)。然而即便再完美的演化，鵝卵石也可能包含一些異變之處，幾何上稱為‘奇點(diǎn)’。簡單來說，‘哈密爾頓—田猜想’即猜測大多數(shù)地方都是完美的，而‘奇點(diǎn)’的大小是可控的，被限制在一個低維空間。”陳秀雄說，他和王兵，就是在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明了這個猜想，并以此為基礎(chǔ)證明了分析領(lǐng)域的“偏零階估計猜想”。

　　數(shù)學(xué)猜想，是關(guān)于某個自然現(xiàn)象或理論的猜測、假設(shè)，如果被數(shù)學(xué)方法證明為正確的，就成為定理；證明為錯誤的則拋棄。

　　“提出猜想——證明或證偽，再提出猜想——再證明或證偽……日日新，又日新，這就是數(shù)學(xué)發(fā)展的路徑。”王兵說，“這也是人類對自然認(rèn)知不斷加深的過程。”

　　微分幾何學(xué)是研究空間幾何的學(xué)問，在這個領(lǐng)域，出現(xiàn)過歐拉、高斯、黎曼等偉大的名字。大到宇宙膨脹，小到熱脹冷縮，諸多自然現(xiàn)象都可以歸結(jié)到空間演化。“哈密爾頓—田猜想”和“偏零階估計猜想”提出于20世紀(jì)90年代，屬于數(shù)學(xué)界的核心猜想。

　　“鵝卵石會越變越完美，幾何結(jié)構(gòu)會變成一個期待的形狀。我們把自然現(xiàn)象用數(shù)學(xué)工具做了證明。”陳秀雄說。

　　可能100年后才有用

　　“這兩個猜想有什么用？”在一些網(wǎng)站上，這是個熱點(diǎn)話題。有學(xué)術(shù)界網(wǎng)友認(rèn)為，應(yīng)該更長遠(yuǎn)地看待這個問題，現(xiàn)在前沿的數(shù)學(xué)成果，“可能100年后才有用”。

　　“跟隨自己的內(nèi)心，好奇心驅(qū)動我們的研究。”陳秀雄說，基礎(chǔ)研究一般不直接著眼于應(yīng)用，但社會發(fā)展證明了基礎(chǔ)研究的作用。

　　微分幾何學(xué)起源于17世紀(jì)，對物理學(xué)、天文學(xué)、工程學(xué)等發(fā)展產(chǎn)生了巨大推動作用，廣義相對論、量子場論等都依賴微分幾何作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

　　對人工智能、機(jī)器人、VR（虛擬現(xiàn)實(shí)）等現(xiàn)代技術(shù)，微分幾何同樣不可或缺。比如電影、游戲特效依靠計算機(jī)圖形學(xué)，微分幾何學(xué)就是其基礎(chǔ)。

　　“人工智能是對真實(shí)世界的有效逼近。比如自動駕駛技術(shù)，可以把前20年所有的車禍信息都錄入數(shù)據(jù)庫，但世界是向前發(fā)展的，如何應(yīng)對并避開新情況下的車禍？”陳秀雄說，這個問題或許可以用微分幾何的思想解決，對未來可能出現(xiàn)的車禍進(jìn)行“猜想”，從而提前規(guī)避。

　　在黑屋子里“找門”

　　研究猜想用了5年，論文篇幅長達(dá)123頁，發(fā)表出來又花了6年……相比猜想本身，這些數(shù)字背后的故事同樣引人遐思。

　　11年前，當(dāng)27歲的美國普林斯頓大學(xué)博士后王兵提出主攻“哈密爾頓—田猜想”時，他的導(dǎo)師陳秀雄吃了一驚。3年的博士后，做出科研成果才能申請正式教職。但以這個猜想的難度，3年幾無可能，甚至可能會被“卡住”“迷失”，毀掉學(xué)術(shù)生涯。

　　“導(dǎo)師擔(dān)心我把自己置于危險境地。”王兵說，也想先做點(diǎn)容易的研究，但發(fā)現(xiàn)做不到，“做別的什么都沉不下來，茶不思、飯不想，成天想著這個事。”

　　數(shù)學(xué)之美讓來自中科大少年班的王兵癡迷，這已非一天兩天。2003年，俄羅斯學(xué)者格里高里·佩雷爾曼歷經(jīng)8年，證明了著名的龐加萊猜想。

　　“要說好在哪里，說不出來，就像王維的詩，你能說清楚美在哪里？我就是著迷。”王兵說，佩雷爾曼突破的更大意義在于，打開了一個宏大瑰麗的科研“寶藏”入口，讓全球的青年數(shù)學(xué)粉絲為之癡狂。

　　整整啃了兩年，王兵讀懂了佩雷爾曼的3篇雄文，還發(fā)現(xiàn)了其中一個錯漏，佩雷爾曼很快回信表示認(rèn)可。

　　但“哈密爾頓—田猜想”之難遠(yuǎn)超想象。“2012年3月我在夏威夷開會，看著窗外美景，忽然想起來，我們的論證有個漏洞。這意味著干了兩年多的研究要推倒重來，寫了五十多頁的論文要從零開始。”王兵說，這種大錯誤犯過兩次，小的不計其數(shù)。

　　“證明未知的猜想，就像在一個方圓1平方公里的黑屋子里找路，沒有任何光亮，但你要在1個小時內(nèi)找到唯一一扇能出去的門。”陳秀雄說，最有效的方式是朝著一個方向走，但人往往走了不久就開始嘀咕：萬一方向不對呢？

　　“所以，好的數(shù)學(xué)一定是發(fā)自內(nèi)心的，你很喜歡，相信它是對的。”研究了30多年數(shù)學(xué)的陳秀雄說。

　　論文長，解釋更長

　　2014年初夏，歷經(jīng)5年苦斗，他們終于完成了猜想的證明，并將成果預(yù)印本張貼到學(xué)術(shù)網(wǎng)站，引起行業(yè)內(nèi)不小的震動。

　　為了將證明完整呈現(xiàn)，王兵將論文投稿到一家知名數(shù)學(xué)期刊，不料卻開啟了另一段長征。

　　猜想證明中有很多新概念、新方法，這家期刊的匿名審稿人不斷提出疑問，他們就不斷回復(fù)解釋。兩年間，回復(fù)多達(dá)十幾次，回復(fù)內(nèi)容累積近200頁，比原文還長。

　　就在他們以為都解釋清楚了，卻收到了拒稿信，審稿人含糊地表示，仍對部分解釋不滿意。

　　但同時，學(xué)術(shù)網(wǎng)站上卻出現(xiàn)了另一篇立意相近、結(jié)構(gòu)類似的論文。作者是一名歐洲人，他的論文架構(gòu)基于陳秀雄、王兵論文的關(guān)鍵想法，卻宣稱自己證明了“哈密爾頓—田猜想”。

　　多年成果可能會被搶走，陳秀雄和王兵將文章分成兩部分，分別投稿給不同的學(xué)術(shù)雜志，都在2017年年底被接受。由于雜志排期原因，2017年和今年，他們103頁的論文前半部分和123頁的后半部分，分別得以發(fā)表。

　　而那位歐洲學(xué)者在正式發(fā)表的論文中，也明確注明陳秀雄、王兵已經(jīng)先行證明了“哈密爾頓—田猜想”。至此，爭議塵埃落定。

　　《微分幾何學(xué)雜志》審稿人評論認(rèn)為，陳秀雄、王兵的論文是幾何分析領(lǐng)域的重大進(jìn)展，將激發(fā)諸多相關(guān)研究。菲爾茲獎獲得者西蒙·唐納森稱贊說，這是“幾何領(lǐng)域近年來的重大突破”。

　　此時，距離他們啟動研究，已過去了11年。

　　回國，這里有最好的學(xué)生

　　走進(jìn)王兵的辦公室，最引人注目的是一個大黑板，幾乎占據(jù)縱向一面墻。“我還嫌不夠大，寫幾步就沒地方了。”在王兵看來，數(shù)學(xué)是長跑是積累，“不寫在黑板上，想的東西可能是錯的。”

　　2018年，已在美國獲得終身教職的王兵與夫人一起回國，一是為了“歸屬感”，二是因?yàn)?ldquo;這里有最好的學(xué)生”。

　　在正常教學(xué)之外，王兵創(chuàng)辦了一個“討論班”，每周一三開課，20多個學(xué)生中部分來自本校，更多是天南海北慕名而來的“數(shù)學(xué)門徒”。

　　21歲的徐鈺倫是來自復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系的“學(xué)霸”，4個月前來到合肥，租住在中科大學(xué)校旁的一間公寓。

　　一間教室、一塊黑板，每次圍繞一篇論文，一人上臺講，大家臺下聽。徐鈺倫說，當(dāng)學(xué)生在臺上講不下去了，王兵就會從凳子上“跳”到講臺上，拿起粉筆與大家一起向下推導(dǎo)。“大家歡笑著討論數(shù)學(xué)，非常純凈。我覺得，這就是數(shù)學(xué)愛好者的天堂。”

　　來自遼寧的一位中科院博士生說，當(dāng)讀懂一篇論文、解決一個難題，有些洋洋得意，王老師會告訴他，“提問題比解決問題更重要”“數(shù)學(xué)的邊界是越來越大的”。

　　“上士聞道，勤而行之；中士聞道，若存若亡；下士聞道，大笑之。”21歲的趙新銳說，自己在討論班上記得最清楚的，是導(dǎo)師引用《道德經(jīng)》里的這段話，“這是數(shù)學(xué)研究的境界和旨趣所在。”

　　留下新的“鵝卵石”

　　“現(xiàn)在的學(xué)生，比我當(dāng)年在中科大讀書時的水平高得多，一些本科生已經(jīng)達(dá)到了國外名校研究生水平。”王兵說，數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)一代代人的積累，不僅是一個人，而是一個大學(xué)、一個國家的事，他看好中國數(shù)學(xué)的前景。

　　對證明猜想所引起的巨大社會反響，陳秀雄和王兵都“出乎意料”。“我很高興，希望能吸引更多的年輕人來研究基礎(chǔ)學(xué)科，不僅是數(shù)學(xué)，還有物理、化學(xué)……基礎(chǔ)性的工作需要有人做。”陳秀雄說。

　　“論文發(fā)表以后，我收到很多郵件，大多是要論文，不少人表達(dá)對數(shù)學(xué)的仰慕，還有人自稱是‘被金融耽誤的數(shù)學(xué)愛好者’。”王兵說，中國日漸強(qiáng)大，需要更多優(yōu)秀的年輕人進(jìn)來，夯實(shí)國家的數(shù)學(xué)之基。

　　在佩雷爾曼證明龐加萊猜想的論文中，留下了一段話：下一步，準(zhǔn)備研究“哈密爾頓—田猜想”。

　　“這個指引，是我們研究這一猜想的原因。”王兵說，如果證明“哈密爾頓—田猜想”是尋找“最完美的鵝卵石”，在他倆那篇論文和以后的其他論文中，他們也留下了新的方向、新的線索。如同新的“鵝卵石”，這是數(shù)學(xué)界的傳承，也是指向未來的路標(biāo)。 (記者徐海濤、陳諾)